הבעה, אורכים וזווית בפירמידה ישרה – בגרות חורף 2022וקטורים 472 · שיעור 16
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.
נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.
נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.
א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w. (פתרנו בשיעור 11)
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) הבע את הווקטורים AB ו־AC באמצעות u , v ו־w. (2) חשב את אורכי הווקטורים AB ו־AC. (3) מצא את גודל הזווית BAC.
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 11):
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
AB = AS + SB
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AS = −SA = −u (אותו וקטור בכיוון הפוך) , SB = v:
AB = −u + v
AC = AS + SC
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AS = −u , SC = w:
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC · המשך
נציב AS = −u , SC = w:
AC = −u + w
✅ פתרון סופי: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC
|AB|2 = (v − u)2 = v2 − 2u·v + u2
📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע
נציב v2 = u2 = 9 , u·v = 9√32 (סעיף א):
|AB|2 = 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
|AB| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553
|AC|2 = (w − u)2 = w2 − 2u·w + u2
📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע
נציב w2 = u2 = 9 , u·w = 9√32 (סעיף א):
📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע
|a|2 = a · a
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = 9√32 , u2 = v2 = 9
📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע
|a|2 = a · a
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC · המשך
נציב w2 = u2 = 9 , u·w = 9√32 (סעיף א):
|AC|2 = 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
|AC| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553
✅ פתרון סופי: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·w = 9√32 , u2 = w2 = 9
סעיף ב(3) – הזווית BAC
בסיס הפירמידה ABC מודגש בתכלת. הזווית BAC היא הזווית בין הווקטורים AB ו־AC.
קודם נחשב את המכפלה הסקלרית AB · AC:
AB · AC = (v − u) · (w − u)
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
AB · AC = v·w − v·u − u·w + u·u
נציב v·w = v·u = u·w = 9√32 , u·u = 9:
AB · AC = 9√32 − 9√32 − 9√32 + 9
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
(a − b) · (c − b) = a·c − a·b − b·c + b·b
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = v·w = u·w = 9√32
u·u = 9
u·u = 9
סעיף ב(3) – הזווית BAC · המשך
AB · AC = 9√32 − 9√32 − 9√32 + 9
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
AB · AC = 9 − 9√32 ≈ 1.206
cos∢BAC = AB · AC|AB| · |AC|
📐 נוסחה: זווית בין וקטורים
נציב AB · AC = 9 − 9√32 , |AB| = |AC| = √18 − 9√3:
cos∢BAC = 9 − 9√32√18 − 9√3 · √18 − 9√3
cos∢BAC = 9 − 9√3218 − 9√3
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = v·w = u·w = 9√32
u·u = 9
u·u = 9
📐 נוסחה: זווית בין וקטורים
cos = a · b|a| · |b| של הזווית בין הווקטורים
סעיף ב(3) – הזווית BAC · המשך
cos∢BAC = 9 − 9√3218 − 9√3
נפרק את המכנה כך שיופיע בו המונה, כדי שנוכל לצמצם:
שימו לב: 18 − 9√3 = 2 · (9 − 9√32), ולכן:
cos∢BAC = 9 − 9√322 · (9 − 9√32) = 12 = 0.5
∢BAC = 60
(בדיקה במספרים: 1.206 ÷ 2.412 = 0.5, כלומר הזווית 60 מעלות.)
סעיף ב(3) – הזווית BAC · המשך
(בדיקה במספרים: 1.206 ÷ 2.412 = 0.5, כלומר הזווית 60 מעלות.)
✅ פתרון סופי: ∢BAC = 60 מעלות
📌 סיכום התשובות
סעיף ב
AB = v − u , AC = w − u
|AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
∢BAC = 60 מעלות
|AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
∢BAC = 60 מעלות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא